# 按主题分类的数学解题示例

> 本页收录了算术、代数、几何、三角函数、微积分、统计和应用题这七个主题下共 21 道样题，每个主题三道，外加两份按解题工具格式手写出来的解答。复制任意题目，或按“去试试”在解题工具里打开它，再选择“答案加步骤”或“详细讲解”。

每个主题都有样题，页面上还写出了两份解答。一键在解题工具里打开任意题目，比较两种讲解方式。

## 要点速览

- **样题数量:** 7 个主题，共 21 道题
- **手写解答:** 2 份，按解题工具的格式手写而成
- **价格:** 每题 1 积分（$0.08–$0.10）；积分包低至 $4.99
- **题目长度:** 文字输入，每题最多 300 个词

[试一道样题](https://mathsolvercalculator.app/zh-CN/create)

## 这些示例展示了什么

- **每个主题都有**: 算术、代数、几何、三角函数、微积分、统计和应用题，每个主题三道题目。
- **常见陷阱**: 分母不同的分数、叠加的折扣、角度与弧度的区别，以及样本与总体的区分。
- **一键试解**: 按“去试试”，在解题工具里打开一道题目，再选择主题和讲解方式。

## 如何使用一道示例题

1. **挑选一道题**: 从你的主题里选一道，或者选一道接近你作业的题目。
2. **两种讲解方式都试试**: 先用“答案加步骤”求解，再读一道较难题目的“详细讲解”版本。
3. **改动数字**: 编辑题目，换成你自己的数字再求解一次；每份解答消耗 1 积分。

## 演算实例：一个导数

按“详细讲解”的格式手写而成，为了简洁只保留了主要步骤：

- 题目：求 f(x) = x^2 sin(x) 的 f'(x)
- 思路：f 是两个函数的乘积，所以用乘法法则 (uv)' = u'v + uv'
- 1. u = x^2，所以 u' = 2x
- 2. v = sin(x)，所以 v' = cos(x)
- 3. f'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)
- 检验：当 x = π 时，f'(π) = 0 + π^2 × (-1) = -π^2 ≈ -9.87，这与在 π 附近用数值方法测得的 f 的斜率相符
- 答案：f'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)
- 常见错误：把两个导数直接相乘，得到 2x cos(x)，这忽略了乘法法则

## 演算实例：一个标准差

按“答案加步骤”的格式手写而成，包含针对一道有歧义题目的“说明”行：

- 题目：求 4、8、6、5、7 这组数据的标准差
- 说明：题目没有说明是样本还是总体，本解答按样本计算
- 1. 平均数：(4 + 8 + 6 + 5 + 7)/5 = 30/5 = 6
- 2. 离差平方：4、4、0、1、1；总和为 10
- 3. 样本方差：10/(5 - 1) = 2.5
- 4. 标准差：sqrt(2.5) ≈ 1.58
- 检验：按总体计算则为 sqrt(10/5) = sqrt(2) ≈ 1.41，略小一些，符合预期
- 答案：按样本计算 s ≈ 1.58；若这组数据就是总体，则 σ ≈ 1.41

## 按主题分类的样题

复制一道题目，或按“去试试”在解题工具里打开它。

### 算术

- **分数:** 化简 3/4 + 5/6 - 1/3
- **百分比:** 250 的 18% 是多少？60 是 250 的百分之几？
- **运算顺序:** 计算 8 + 2 × (15 - 3^2) / 4

### 代数

- **一次方程:** 求解 x：3(x - 4) + 7 = 2x + 9
- **二次方程:** 解方程 x^2 - 6x + 4 = 0，给出精确值和小数答案。
- **方程组:** 解方程组：2x + 3y = 12 和 x - y = 1

### 几何

- **圆:** 一个圆的周长为 31.4 厘米，求它的半径和面积。
- **直角三角形:** 一个直角三角形的两条直角边分别为 9 厘米和 12 厘米，求斜边长、面积和周长。
- **圆柱体:** 求一个半径 3 厘米、高 10 厘米的圆柱体的体积和表面积。

### 三角函数

- **梯子:** 一架 6 米长的梯子以与地面 70 度的角靠在墙上，它能到达墙面多高的位置？
- **三角方程:** 在 0 ≤ x < 360 度范围内解方程 2sin(x) - 1 = 0。
- **恒等式:** 证明 (1 - cos^2(x))/sin(x) = sin(x)。

### 微积分

- **导数:** 求 f(x) = x^2 sin(x) 的导数。
- **定积分:** 求从 0 到 2 的 (3x^2 + 2x) dx 的积分值。
- **极限:** 求当 x 趋近于 0 时 sin(3x)/x 的极限。

### 统计

- **标准差:** 求 4、8、6、5、7 的平均数和标准差。
- **概率:** 掷两颗骰子，点数之和至少为 10 的概率是多少？
- **计数:** 从 10 个人中选出 3 人组成一个委员会，有多少种选法？

### 应用题

- **两列火车:** 一列火车上午 9:00 从车站出发，速度为 80 千米/小时。另一列火车沿同一路线在上午 10:00 从同一车站出发，速度为 100 千米/小时。第二列火车在几点、距车站多远处追上第一列？
- **叠加折扣:** 一件外套先打七五折，再打九折，相当于打了多少折？
- **合作完成:** 安娜单独粉刷一个房间要 3 小时，本恩单独要 5 小时，两人一起需要多久？


## 按题计费的简单定价

- Starter: US$7.99 / 月, 100 积分
- Pro: US$19.99 / 月, 250 积分
- Tutor: US$49.99 / 月, 650 积分
- Mini: US$4.99, 50 积分
- Plus: US$14.99, 160 积分
- Max: US$34.99, 420 积分

## 示例页常见问题

### 可以免费试试这些示例吗？

你可以免费阅读每一道题和两份解答。在工具里求解任何一道题（包括这些样题）都会消耗 1 积分，取自已购买的积分包或套餐；新账号没有免费积分。

### 这些解答是 AI 写的吗？

不是。本页的两份解答是手写出来的，为的是展示解题工具使用的格式。你自己的解答由 Claude Sonnet 5 生成，措辞可能有所不同。

### 一道综合题应该选哪个主题？

选择主要解法所属的主题。一道最终需要列出二次方程的应用题适合选应用题；一道需要用到三角函数的面积问题适合选几何或三角函数。主题会加上对应的方法规则，但不会限制解题工具可以使用的数学知识。

## 先试一道样题，再解你自己的题目

在解题工具里打开任意一道示例，比较两种讲解方式，再试试你自己的数字。

_最后更新 2026-10-29_